Naked Statistics est le livre le plus intéressant sur la science la plus ennuyeuse

2024 Auteur: Malcolm Clapton | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 03:55

Qui a dit que les statistiques étaient une science ennuyeuse et inutile ? Charles Wheelan soutient de manière convaincante que c'est loin d'être le cas. Aujourd'hui, nous publions un extrait de son livre sur la façon de gagner une voiture, pas une chèvre, en utilisant des statistiques, et comprenons que l'intuition peut vous induire en erreur.

L'énigme de Monty Hall

Le mystère de Monty Hall est un problème célèbre de la théorie des probabilités qui a déconcerté les participants à un jeu télévisé appelé Let's Make a Deal, toujours populaire dans plusieurs pays, qui a été créé aux États-Unis en 1963. (Je me souviens de chaque fois que j'ai regardé cette émission quand j'étais enfant, quand je n'allais pas à l'école pour cause de maladie.) Dans l'introduction du livre, j'ai déjà souligné que ce jeu télévisé peut être intéressant pour les statisticiens. A la fin de chacun de ses numéros, le participant ayant atteint la finale se tenait avec Monty Hall devant trois grandes portes: porte n°1, porte n°2 et porte n°3. Monty Hall a expliqué au finaliste que derrière une de ces portes était un prix très précieux - par exemple une nouvelle voiture et une chèvre derrière les deux autres. Le finaliste devait choisir l'une des portes et obtenir ce qu'il y avait derrière. (Je ne sais pas s'il y avait au moins une personne parmi les participants au salon qui souhaitait se procurer une chèvre, mais par souci de simplicité, nous supposerons que la grande majorité des participants rêvait d'une nouvelle voiture.)

La probabilité initiale de gagner est assez facile à déterminer. Il y a trois portes, deux cachent une chèvre et la troisième cache une voiture. Lorsqu'un participant au salon se tient devant ces portes avec Monty Hall, il a une chance sur trois de choisir la porte derrière laquelle se trouve la voiture. Mais, comme indiqué ci-dessus, il y a un hic dans Let’s Make a Deal qui a immortalisé ce programme télévisé et son présentateur dans la littérature sur la théorie des probabilités. Une fois que le finaliste du spectacle a indiqué l'une des trois portes, Monty Hall ouvre l'une des deux portes restantes, derrière laquelle se trouve toujours une chèvre. Ensuite, Monty Hall demande au finaliste s'il souhaite changer d'avis, c'est-à-dire abandonner la porte fermée précédemment sélectionnée au profit d'une autre porte fermée.

Disons, à titre d'exemple, que le participant a indiqué la porte n° 1. Ensuite, Monty Hall a ouvert la porte n° 3, derrière laquelle se cachait la chèvre. Deux portes, la porte #1 et la porte #2, restent fermées. Si le prix de valeur était derrière la porte n° 1, le finaliste l'aurait gagné, et s'il était derrière la porte n° 2, alors il aurait perdu. C'est à ce moment que Monty Hall demande au joueur s'il souhaite modifier son choix initial (dans ce cas, abandonnez la porte n°1 au profit de la porte n°2). Vous vous souviendrez bien sûr que les deux portes sont toujours fermées. La seule nouvelle information que le participant a reçue était que la chèvre s'était retrouvée derrière l'une des deux portes qu'il n'avait pas choisies.

Le finaliste doit-il abandonner le choix initial en faveur de la porte #2 ?

Je réponds: oui, ça devrait. S'il s'en tient au choix initial, la probabilité de gagner un prix de valeur sera de ⅓; s'il change d'avis et pointe vers la porte n°2, alors la probabilité de gagner un prix de valeur sera de ⅔. Si vous ne me croyez pas, lisez la suite.

J'avoue que cette réponse est loin d'être évidente à première vue. Il semble que quelle que soit la porte choisie par le finaliste parmi les deux autres portes, la probabilité de recevoir un prix de valeur dans les deux cas est de ⅓. Il y a trois portes fermées. Au début, la probabilité qu'un prix de valeur soit caché derrière l'un d'eux est de ⅓. La décision du finaliste de modifier son choix en faveur d'un autre huis clos fait-elle une différence ?

Bien sûr, puisque le hic, c'est que Monty Hall sait ce qu'il y a derrière chaque porte. Si le finaliste choisit la porte n°1 et qu'il y a effectivement une voiture derrière, Monty Hall peut ouvrir la porte n°2 ou la porte n°3 pour révéler la chèvre qui se cache derrière elle.

Si le finaliste sélectionne la porte 1 et que la voiture est derrière la porte 2, Monty Hall ouvrira la porte 3.

Si le finaliste pointe vers la porte 1 et que la voiture est derrière la porte 3, Monty Hall ouvrira la porte 2.

En changeant d'avis après que le présentateur ait ouvert une des portes, le finaliste a l'avantage de choisir deux portes au lieu d'une. Je vais essayer de vous convaincre de la justesse de cette analyse de trois manières différentes.

La première est empirique. En 2008, le chroniqueur du New York Times John Tyerney a écrit sur le phénomène de Monty Hall. Après cela, le personnel de la publication a développé un programme interactif qui vous permet de jouer à ce jeu et de décider indépendamment de modifier ou non votre choix initial. (Le programme prévoit même des petites chèvres et des petites voitures qui apparaissent de derrière les portes.) Le programme enregistre vos gains dans le cas où vous modifiez votre choix initial, et dans le cas où vous n'êtes toujours pas convaincu. J'ai payé une de mes filles pour jouer à ce jeu 100 fois, changeant à chaque fois son choix initial. J'ai aussi payé son frère pour qu'il joue au jeu 100 fois aussi, en gardant la décision initiale à chaque fois. La fille a gagné 72 fois; son frère 33 fois. Chaque effort a été récompensé par deux dollars.

Les preuves des épisodes du jeu Let's Make a Deal montrent le même schéma. Selon Leonard Mlodinov, auteur de The Drunkard's Walk, les finalistes qui ont modifié leur choix initial avaient environ deux fois plus de chances de gagner que ceux qui n'étaient pas convaincus.

Ma deuxième explication de ce phénomène est basée sur l'intuition. Disons que les règles du jeu ont légèrement changé. Par exemple, le finaliste commence par choisir l'une des trois portes: porte n° 1, porte n° 2 et porte n° 3, comme prévu initialement. Cependant, alors, avant d'ouvrir l'une des portes derrière lesquelles se cache la chèvre, Monty Hall demande: « Acceptez-vous de renoncer à votre choix en échange de l'ouverture des deux portes restantes ? Donc, si vous avez choisi la porte n° 1, vous pouvez changer d'avis en faveur de la porte n° 2 et de la porte n° 3. Si vous avez d'abord pointé la porte n° 3, vous pouvez sélectionner la porte n° 1 et la porte n° 2. Et ainsi de suite.

Ce ne serait pas une décision particulièrement difficile pour vous: il est bien évident que vous devriez abandonner le choix initial en faveur des deux portes restantes, car cela augmente les chances de gagner de ⅓ à ⅔. Le plus intéressant, c'est que c'est cela, en substance, que vous propose Monty Hall dans un vrai jeu, après avoir ouvert la porte derrière laquelle se cache la chèvre. Le fait fondamental est que si vous aviez la possibilité de choisir deux portes, une chèvre serait de toute façon cachée derrière l'une d'elles. Lorsque Monty Hall ouvre la porte derrière laquelle se trouve la chèvre et vous demande seulement ensuite si vous acceptez de modifier votre choix initial, cela augmente considérablement vos chances de gagner un prix précieux ! En gros, Monty Hall vous dit: « Les chances qu'un prix précieux se cache derrière l'une des deux portes que vous n'avez pas choisies la première fois sont ⅔, ce qui est quand même plus que ⅓ !

Vous pouvez l'imaginer comme ça. Disons que vous avez indiqué la porte n°1. Après cela, Monty Hall vous donne la possibilité d'abandonner la décision initiale en faveur de la porte n°2 et de la porte n°3. Vous êtes d'accord et vous avez deux portes à votre disposition, ce qui signifie que vous avez chaque raison s'attend à gagner un prix précieux avec une probabilité de ⅔, pas ⅓. Que se serait-il passé si à ce moment Monty Hall avait ouvert la porte 3 - l'une de « vos » portes - et qu'il y avait une chèvre derrière ? Ce fait ébranlerait-il votre confiance dans votre décision ? Bien sûr que non. Si la voiture se cachait derrière la porte 3, Monty Hall ouvrirait la porte 2 ! Il ne vous montrerait rien.

Lorsque le jeu se joue selon un scénario knock-off, Monty Hall vous donne vraiment le choix entre la porte que vous avez spécifiée au début, et les deux portes restantes, dont l'une pourrait être une voiture. Lorsque Monty Hall ouvre la porte derrière laquelle se cache la chèvre, il vous rend simplement service en vous montrant laquelle des deux autres portes n'est pas la voiture. Vous avez les mêmes probabilités de gagner dans les deux scénarios suivants.

1. Sélectionnez la porte n° 1, puis acceptez de « passer » à la porte n° 2 et à la porte n° 3 avant même qu'une porte ne soit ouverte.
2. Sélectionnez la porte n° 1, puis acceptez de "passer" à la porte n° 2 après que Monty Hall vous ait montré la chèvre derrière la porte n° 3 (ou choisissez la porte n° 3 après que Monty Hall vous a montré la chèvre derrière la porte n° 2).

Dans les deux cas, l'abandon de la décision initiale vous donne l'avantage de deux portes sur une, et vous pouvez ainsi doubler vos chances de gagner de ⅓ à ⅔.

Ma troisième option est une version plus radicale de la même intuition de base. Disons que Monty Hall vous demande de choisir l'une des 100 portes (au lieu de l'une des trois). Après cela, disons en pointant la porte # 47, il ouvre les 98 portes restantes, qui révéleront les chèvres. Désormais, seules deux portes restent fermées: votre porte n°47 et une autre, par exemple, la porte n°61. Faut-il renoncer à votre choix initial ?

Bien sûr que oui! Il y a 99% de chances que la voiture se trouve derrière l'une des portes que vous n'avez pas choisies au départ. Monty Hall vous a fait la courtoisie en ouvrant 98 de ces portes, il n'y avait aucune voiture derrière elles. Ainsi, il n'y a qu'une chance sur 100 que votre choix initial (porte n°47) soit le bon. Dans le même temps, il y a 99 chances sur 100 que votre choix initial soit erroné. Si c'est le cas, la voiture se trouve derrière la porte restante, c'est-à-dire la porte n° 61. Si vous voulez jouer avec la probabilité de gagner 99 fois sur 100, alors vous devez "passer" à la porte n° 61.

Bref, si jamais vous devez jouer à Let’s Make a Deal, vous devrez certainement revenir sur votre décision initiale lorsque Monty Hall (ou celui qui le remplacera) vous donnera le choix. Une conclusion plus universelle de cet exemple est que vos suppositions intuitives sur la probabilité de certains événements peuvent parfois vous induire en erreur.