Le problème des lapins du mathématicien médiéval Leonardo Fibonacci

2024 Auteur: Malcolm Clapton | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 03:55

Calculez quelle progéniture une paire d'animaux donnera d'ici le début de l'année prochaine.

Leonardo Fibonacci était un mathématicien médiéval exceptionnel. On pense que c'est lui qui a introduit les chiffres arabes en usage. Dans Le Livre de l'Abacus, un ouvrage qui expose et promeut l'arithmétique décimale, Fibonacci donne son célèbre problème sur les lapins. Essayez de le résoudre.

Début janvier, un couple de lapins nouveau-nés (mâle et femelle) a été placé dans un enclos, clôturé de tous côtés. Combien de couples de lapins produiront-ils d'ici le début de l'année prochaine ? Il est nécessaire de prendre en compte les conditions suivantes:

• Les lapins atteignent la maturité sexuelle deux mois après la naissance, c'est-à-dire au début du troisième mois de vie.
• Au début de chaque mois, chaque couple sexuellement mature donne naissance à un seul couple.
• Les animaux naissent toujours par paires "une femelle + un mâle".
• Les lapins sont immortels, les prédateurs ne peuvent pas les manger.

Voyons comment le nombre de lapins augmente au cours des six premiers mois:

Mois 1. Une paire de jeunes lapins.

Mois 2. Il reste une paire d'origine. Les lapins n'ont pas encore atteint l'âge de procréer.

Mois 3. Deux couples: celui d'origine, ayant atteint l'âge de procréer + un couple de lapereaux qu'elle a mis au monde.

Mois 4. Trois couples: un couple d'origine + un couple de lapines qu'elle a mis bas en début de mois + un couple de lapines nées au troisième mois, mais pas encore pubères.

Mois 5. Cinq couples: un couple d'origine + un couple né au troisième mois et en âge de procréer + deux nouveaux couples qu'ils ont mis au monde + un couple né au quatrième mois, mais pas encore arrivé à maturité.

Mois 6. Huit couples: cinq couples du mois dernier + trois couples nouveau-nés. Etc.

Pour que ce soit plus clair, écrivons les données reçues dans le tableau:

Si vous examinez attentivement le tableau, vous pouvez identifier le modèle suivant. A chaque fois le nombre de lapins présents au nième mois est égal au nombre de lapins au (n - 1) ième mois précédent, additionné au nombre de lapins nouveau-nés. Leur nombre, à son tour, est égal au nombre total d'animaux au (n - 2) mois (c'était il y a deux mois). De là, vous pouvez dériver la formule:

F = F_n-1+ F_n-2, où F - le nombre total de couples de lapins au n-ième mois, F_n-1 est le nombre total de couples de lapins au cours du mois précédent, et F_n-2 - le nombre total de couples de lapins il y a deux mois.

Comptons le nombre d'animaux dans les mois suivants en l'utilisant:

Mois 7. 8 + 5 = 13.

Mois 8. 13 + 8 = 21.

Mois 9. 21 + 13 = 34.

Mois 10. 34 +21 = 55.

Mois 11. 55 + 34 = 89.

Mois 12. 89 + 55 = 144.

Mois 13 (début de l'année prochaine). 144 + 89 = 233.

Au début du 13e mois, c'est-à-dire à la fin de l'année, nous aurons 233 couples de lapins. Parmi eux, 144 seront des adultes et 89 seront des jeunes. La séquence résultante 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 est appelée nombres de Fibonacci. Dans celui-ci, chaque nouveau nombre final est égal à la somme des deux précédents.

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